Erdbebeneinwirkungen auf Bauwerke können dramatische Folgen haben, wie die Erdbeben der letzten Jahre in aller Welt gezeigt haben. Die Fußpunktbeschleunigungen erregen das System zu Schwingungen. Gefährdet sind vor allem Bauwerke, die große Kopfmassen tragen und dabei horizontal nur schwach ausgesteift sind.

 

Einsturz nach Erdbeben

Wenn der Zeitverlauf der Bodenbeschleunigungen bekannt ist, kann mit Hilfe einer Zeitverlaufsberechnung die zugehörige Antwort bestimmt werden. Da der genaue Verlauf der (zukünftigen) Bodenbeschleunigungen am Bauwerksort naturgemäß nicht bekannt ist, behilft man sich so, dass für die gegebene Untergrundsituation eine Anzahl typischer Verläufe vorgegeben werden. Das Tragwerk wird der Reihe nach mit allen vorgegebenen Beschleunigungsverläufen berechnet. Bemessen wird nach dem Maximalwerte der betrachteten Antwortgröß aller Antwort-Zeitverläuufe. Die Berechnung wird bei Mehrmassensystemen in der Regel mit Hilfe der FEM-Methode durchgeführt.

 

 

Üblicherweise wird nach dem sog. Antwortspektrenverfahren gearbeitet. Zur Bestimmung eines Antwortspektrums wird ein Einmassenschwinger mit definierter Masse, Steifigkeit und Dämpfung (und damit definierter Eigenfrequenz) einem vorgegebenen Fußbeschleunigungsverlauf unterworfen. Die zeitliche Antwort wird z.B. mit Hilfe eines Zeitschritt-Verfahrens ermittelt und der jeweilige Maximalwerte der Antwort aus dem Antwort-Zeitverlauf abgegriffen. Durch Variation der Systemwerte des Einmassenschwingers ergeben sich (bei stets derselben Erregung) unterschiedliche maximale Antworten. Alle maximalen Antworten werden in einem sog. Antwortspektrum über der Schwingzeit T aufgetragen (Bild). Man beachte, dass die Information, zu welchem Zeitpunkt der Maximalwert aufgetreten ist, im Antwortspektrum verloren gegangen ist. Dies führt bei der Überlagerung von Schwingungsformen zu Problemen.

Vorgehensweise beim Antwortspektrenverfahren

 

Das Antwortspektrum hängt naturgemäß stark von den Zufälligkeiten des zugrundegelegten Beschleunigungsverlaufs ab und weist deshalb einen sehr rauhen Verlauf mit vielen Spitzen und Tälern auf. Durch Berechnung mit unterschiedlichen Beschleunigungsverläufen und Mittelung und Glättung erhält man glatte Entwurfsantwortspektren, wie im Bild angegeben.

Antwortspektrum der DIN 4119

 

In der deutschen Norm DIN 4119 wird das Antwortspektrum vereinfacht und auf sicherer Seite angegeben. Der Abfall im niederfrequenten Bereich wird nicht ausgenutzt.

 

Die Antwortspektren sind abhängig von der angesetzten Tragwerksdämpfung. Diese ist deshalb möglichst zutreffend zu bestimmen. Teilt man die DIN 4149 Ordinaten des Antwortspektrums durch einen fest vorgegebenen Maximalwert (in DIN 4149 ist dies der Maximalwert des Antwortspektrums für das Dämpfungsmaß xi = 0,05, er beträgt Sb=1,8 [m/s²]), so erhält man ein normiertes Bemessungsspektrum. Wenn dieses noch weiter vereinfacht wird, erhält man das Antwortspektrum der DIN 4149. Dieses ist im o.a. Bild dargestellt.

Die Antworten infolge einer Erdbebeneinwirkung werden durch nichtlineare Einflüsse, z.B. durch Plastizieren stark reduziert. Um nichtlineare Berechnungen bei der Ermittlung des Antwortspektrums zu vermeiden, kann nach DIN 4149 das Antwortspektrum durch Division mit sog. Verhaltensfaktoren reduziert werden. Dies ist jedoch nur erlaubt, wenn auch ausreichende Verformungsmöglichkeiten bestehen.

Wenn die Berücksichtigung nur der Grundschwingung auf der Basis des generalisierten Einmassenschwingers nicht mehr ausreicht, kann z.B. eine Berechnung nach dem Konzept der modalen Analyse durchgeführt werden. Hierbei werden die Antworten von n generalisierten Einmassenschwingern getrennt ermittelt und anschließend addiert. Wenn die maximalen Antworten der Einmassenschwinger mit Hilfe des o.a. Antwortspektrums ermittelt werden, lassen sich die Antworten nicht mehr einfach addieren, da sie zu unterschiedlichen Zeitpunkten auftreten und die Zeitinformation bei der Aufstellung der Antwortspektren verloren gegangen ist. Wenn die Eigenfrequenzen gut getrennt sind, wird die Gesamtantwort i.A. mit Hilfe einer geometrischen Addition ermittelt. Dies läßt sich auch nach der Zufallsschwingungstheorie begründen. Bei eng benachbarten Eigenfrequenzen können die Antworten zeitgleich, d.h. in Phase auftreten. Die Antworten dieser Einmassenschwinger werden dann i.A. auf sicherer Seite absolut addiert.

Die Untersuchung des Tragverhaltens von Bauwerken unter Erdbebeneinwirkung werden vom Büro i.A. der Basis des o.a. Antwortspektrenverfahrens durchgeführt. Daneben werden auch Untersuchungen vorgenommen, die die spektrale Leistungsdichte des Erdbebensprozesses verwenden. Das Ergebnis ist eine statistische Aussage über die Eintretenswahrscheinlichkeit des Wertes einer bestimmten Schnittgröße. Die o.a. Vereinfachungen sind dann nicht mehr erforderlich.